1設計方法
1.1實驗設計方法及響應面近似模型的建立
實驗設計方法是用來研究設計參數(shù)對模型設計狀況影響的一種取樣策略。實驗設計是構建近似模型過程中的重要環(huán)節(jié)，決定了構造近似模型所需樣本點的個數(shù)和這些點的空間分布情況。
文中采用中心復合設計法（CCDs）進行實驗設計，該方法*早由Box和Wilson于1951年提出。由于這種設計方法具有序貫性、預測效率較高等特點，在實際設計中已得到廣泛應用。采用中心復合設計法能夠在提供較少的實驗次數(shù)下，充分考慮實驗設計變量之間的相互影響關系。
近似模型通過數(shù)理統(tǒng)計和實驗設計的方法，在設計變量和響應之間建立一種函數(shù)關系，用來近似復雜的實際問題。常用的近似模型有多項式響應曲面、徑向基函數(shù)模型、Kriging模型等。響應面法是用于處理多變量問題建模和分析的一套統(tǒng)計處理方法，能夠在不確定數(shù)據(jù)集趨向于何種曲線時，對整個數(shù)據(jù)集進行整體的擬合，能夠很好地解決在多個設計變量同時作用下目標的優(yōu)化問題。因此文中選擇建立響應面近似模型進行優(yōu)化求解。
1.2優(yōu)化流程
優(yōu)化流程圖如1所示，首先根據(jù)實際問題確定設計變量及其變化空間，利用中心復合設計法進行實驗設計，根據(jù)實驗設計結果進行樣本點采集；然后對各組樣本集合進行有限元分析，得到結構的響應。通過擬合設計變量和系統(tǒng)響應之間的函數(shù)關系建立二階響應曲面，在響應面上進行尋優(yōu)求解。通過自由隨機法，根據(jù)建立的多目標優(yōu)化問題的數(shù)學模型，在整個二階響應曲面上初步尋找*優(yōu)解，再以自由隨機法尋找的*優(yōu)解為新的樣本空間，利用遺傳算法反復迭代求解，進行進一步的尋優(yōu)，驗證*優(yōu)解的真值。如果滿足精度要求，優(yōu)化求解過程結束，如果不滿足則修正響應曲面進一步迭代求解。響應曲面的精度直接影響結果的優(yōu)劣，文中要求擬合的近似模型的誤差值在1%以內(nèi)。
1.3多目標優(yōu)化問題的處理方法
在優(yōu)化設計中經(jīng)常遇到的是多目標優(yōu)化問題。對于多目標優(yōu)化的處理方法，主要有評價函數(shù)法、分層求解法、目標規(guī)劃法。評價函數(shù)法借助構造某種適當?shù)脑u價函數(shù)，將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題來求解。
折衷法是評價函數(shù)的一種處理方法，它的基本思想是設計者選取多目標中的一個作為目標函數(shù)進行優(yōu)化，而把其他目標函數(shù)視作可以變通的約束，設置一個不希望超過或小于的值，把多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題進行優(yōu)化。
文中采用折衷法對床（）身結構進行優(yōu)化設計，優(yōu)化模型為：
max k（1）s.t.
f－［f］［f］≤εX l i≤X i≤X u i（i = 1，2，…，n）
式中：ε???在優(yōu)化過程中允許床身基頻的改變量；k???機床剛度；［f］???原床身結構的基頻；f???優(yōu)化后床身結構的基頻；X i???設計變量；X u i，X l i???設計變量的上下限。
式（1）表明尋求設計變量X i（i = 1，2，…，n）的*優(yōu)值，使結構在基頻接近原結構的約束條件下，結構剛度*大。
1.4優(yōu)化算法
遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和進化發(fā)展起來的高度并行、隨機、自適應搜索算法。它使用了群體搜索技術，將種群代表一組問題解，通過對當前種群施加選擇、交叉和變異等一系列遺傳操作，產(chǎn)生新一代的種群，并逐步使種群進化到包含近似*優(yōu)解的狀態(tài)。利用遺傳算法求解優(yōu)化模型能夠解決任意維數(shù)函數(shù)的組合優(yōu)化問題，能夠找到響應面中的全局*優(yōu)解，同時遺傳算法能夠很好地解決離散變量的問題。遺傳算法求解流程圖如2所示。
2算例
2.1研究對象
某型號外圓磨床床身由灰鑄鐵鑄造而成。床身長2 900 mm、寬1 170 mm、高707 mm，壁厚15 mm.前床身上有V－平型導軌，導軌總長2 800 mm，前床身內(nèi)部有8塊橫隔板和1塊水平橫向筋板。后床身分別有2塊橫、縱隔板。床身內(nèi)部的橫隔板厚度為15 mm，床身底面由11塊墊鐵支撐。原床身上設置了多個出砂孔，有限元分析結果顯示原床身結構的剛度為1.64×10 5N/mm，基頻為212.8 Hz.為了進行優(yōu)化設計，將床身內(nèi)部的出砂孔全部填上，設計初始模型對其進行有限元分析，床身剛度為1.68×10 5N/mm，基頻為214 Hz.
2.2設計變量
床身內(nèi)部橫隔板的間距（x 1，x2，x 3，x 4），橫隔板的厚度x 5及墊鐵的間距（x 6，x7，x8）為設計變量，研究它們對床身結構性能的影響，設計變量如4所示。
2.3優(yōu)化求解
利用所示的優(yōu)化過程進行優(yōu)化求解，各變量的設計空間如所示。利用中心復合設計法生成81組實驗設計所需的設計變量的樣本點，利用有限元法分析每組設計變量與基頻、剛度響應之間的關系。借助*小二乘法，根據(jù)實驗設計的結果，分別構造基頻和剛度與設計變量之間的二階響應曲面，兩個響應曲面的*大相對殘差分布為0.61%和0.74%，因此近似模型滿足精度的要求，能夠代替實際模型進行優(yōu)化求解。采用折衷法按照式（1）進行多目標優(yōu)化問題處理，利用遺傳算法對優(yōu)化問題進行求解。
設計變量的設計空間設計變量/mm取值范圍/mm初始值/mm x 1 200～400 250 x 2 400～600 575 x 3 700～1 100 950 x 4 200～400 250 x 5 12～15 15 x 6 700～1 200 873 x 7 700～900 870 x 8 200～900 500
2.4優(yōu)化結果
優(yōu)化后的結果如2所示，剛度由原來的1.68×105 N/mm增加到1. 73×105N/mm，上升了3.04%，基頻由原來的214 Hz減小到212.8 Hz，降低了0.56%.
2優(yōu)化前后床身結構動靜態(tài)性能比較設計變量/mm優(yōu)化前優(yōu)化后剛度/（N/mm）基頻/Hz優(yōu)化前優(yōu)化后優(yōu)化前優(yōu)化后x 1 250 345 x 2 575 441 x 15 x 500 213
3拓撲優(yōu)化
床身結構需要在合理的位置開出砂孔，一方面方便鑄造過程的出砂，另一方面也可減輕床身質(zhì)量。出砂孔的位置必須保證在開孔后，結構的剛度和基頻滿足床身的設計要求。結構拓撲優(yōu)化能在給定的空間結構中形成合理的材料分布。文中采用密度法對床身結構進行優(yōu)化設計，以得到合理的出砂孔位置。人為引進了一種假想的密度可變材料，每個單元的偽密度為設計變量，將結構拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料*優(yōu)分布設計問題，應用優(yōu)化準則法求解材料*優(yōu)分布。拓撲優(yōu)化數(shù)學模型為：max K（2）s.t 0＜βi≤1 M≤M limit式中：K???剛度；βi???單元i的偽密度；M???結構撲優(yōu)化后的質(zhì)量；M lmit???設定的優(yōu)化后結構質(zhì)量。
設定優(yōu)化后床身質(zhì)量下降10%，運用密度法對床身結構進行拓撲優(yōu)化，優(yōu)化后的拓撲圖如所示。圖中灰色代表床身材料可以刪除的地方，但灰色材料僅僅表示理論上可以刪除，到底是否刪除該處材料需要結合床身結構的實際需要。如床身油箱地方材料雖可以刪除，但不能通過開孔刪除，可以選擇減小壁厚的方法，達到減輕質(zhì)量的目的。而一些結構通過拓撲圖顯示材料要保留，但實際床身結構需要開一些孔，只能適當?shù)貏h除一些材料來滿足實際的要求。結合床身結構拓撲圖和床身結構的實際需要，在床身內(nèi)部水平橫隔板和床身底面開出適當?shù)某錾翱?，并減小床身底面壁厚，床身結構刪除材料后的結構如6所示。
對優(yōu)化后的結構進行有限元分析，優(yōu)化后床身結構性能如所示。床身結構的剛度為1.74×10 5N/mm，比原床身結構的剛度值大了1×10 4N/mm，增加了5.8%.雖然基頻為204.5 Hz，比原床身結構的基頻下降7.3 Hz，但整個床身質(zhì)量由原來的1 496.6 kg降到1 424. 3 kg減輕了4.83%.
3拓撲優(yōu)化前后床身結構性能比較床身結構剛度/（N/mm）基頻/Hz質(zhì)量/kg優(yōu)化前1. 64×10 5 212.8 1 496.6優(yōu)化后1. 74×10 5 205.5 1 424.3變化量5.8%（+）3.43%（－）4.83%（+）注：+表示上升；－表示下降
4結語
采用實驗設計和近似模型方法對床身內(nèi)部橫隔板間距、橫隔板的厚度、墊鐵位置進行了優(yōu)化設計。在確定了橫隔板間距和墊鐵位置及橫隔板厚度后，采用密度法對床身結構進行拓撲優(yōu)化設計，確定了合理的出砂孔位置。研究表明：這樣的優(yōu)化策略不僅可有效地提高床身的機械性能，并且有較高的設計效率。以某型號磨床床身為例對所提出的方法進行了驗證。優(yōu)化后床身結構剛度增加了5.8%，床身質(zhì)量減輕了4.83%.
